Eratóstenes e a circunferência da terra

Eratóstenes (?276 a.C. – ?196 a.C.) foi criado em Cirene, cidade grega ao norte da África. Estudou em Alexandria, no Egito, e depois em Atenas, retornando a Alexandria em 255 a.C., onde se estabeleceu. Eratóstenes escreveu sobre matemática, astronomia, geografia, história e fez críticas literárias. Com tantos escritos importantes, seu nome era a escolha óbvia para a administração da biblioteca de Alexandria, cargo que aceitou em 240 a.C.
Naquela época, Ptolomeu III governava Alexandria e partes do Egito e ordenou que todos os navios e caravanas fossem revistados em busca de livros, mapas ou documentos interessantes para serem copiados. A biblioteca de Alexandria se tornou fonte dos vastos conhecimentos do mundo antigo.

Certa vez, ao ler um papiro da Biblioteca, encontrou a informação de que na cidade de Siena, no vale do Nilo, cerca de 800 km ao sul de Alexandria, ao meio dia do solstício de verão (o dia mais longo do ano, no hemisfério norte - 21 de junho), colunas verticais não projetavam qualquer sombra, ou seja, o Sol situava-se a prumo. Desconhece-se quem teria sido o autor dessa observação. Eratóstenes resolveu verificar o que acontecia nesse dia, o solstício de verão, em Alexandria ao meio dia e para sua surpresa, em Alexandria as colunas projetavam sombras suficientemente grandes para que não houvesse dúvidas de que as coisas se comportavam de forma distinta em Siena. Por que, no mesmo dia e hora, em localidades diferentes, as sombras eram diferentes? Há quase 23 séculos, Eratóstenes deu a resposta correta: porque a terra é redonda. Fosse ela plana as sombras seriam iguais

Exagerando o tamanho das colunas em relação ao tamanho da Terra, consegue-se ver o que acontece ( como o Sol está muito distante, seus raios podem ser considerados paralelos)

É facil ver que o ângulo que o raio do Sol faz com a vertical em Alexandria é exatamente o ângulo, sobre um círculo máximo da terra, entre Alexandria e Siena. Pela projeção da sombra, Eratóstenes não teve dificuldades em calcular o ângulo, que era aproximadamente 7º, ou seja, 1/50 de 360º. Portanto, a circunferência da Terra deveria ser mais ou menos 50 vezes a distância entre Alexandria e Siena. Conta a tradição que Eratóstenes mandou um de seus escravos para que, a pé, medisse aquela distância, que multiplicada por 50 resultou aos 40.000 Km, hoje conhecidos, com um erro de apenas 10%.




Referências:

http://www.zenite.nu/http://www.ahistoria.com.br/eratostenes/
http://www.grupoescolar.com/materia/eratostenes_calcula_a_circunferencia_da_terra.html
http://eltamiz.com/2008/05/31/el-sistema-solar-la-tierra-i/
http://www.ahistoria.com.br/eratostenes/

Hiparco e o cálculo da distância da terra-lua

Astrônomo e matemático grego, nascido por volta de 190 a. C., em Niceia, e falecido em 120 a. C., em Rodes, onde terá vivido a maior parte da sua vida - daí ser também conhecido por Hiparco de Rodes ou ainda Hipparchus ou Hipparcos de Rhodes -, foi o primeiro cientista a aplicar a geometria às observações astronómicas. Preocupou-se com os problemas da projeção da superfície da Terra num mapa plano, tendo criado a projeção estereográfica. Dividiu pela primeira vez o círculo terrestre em 360º e concebeu uma rede de paralelos e meridianos para determinar as coordenadas terrestres (latitude e longitude). Definiu as zonas climáticas como áreas compreendidas entre paralelos, defendendo a existência de zonas demasiado quentes e demasiado frias para serem habitadas. 

Conhecido como o pai da astronomia, calculou as distâncias do Sol e da Lua à Terra e determinou a inclinação da eclíptica.

Para medir a distância da terra à lua , Hiparco (190-120 a.C.) não precisou nem mesmo do diâmetro da Terra. Ele imaginou uma geometria com a qual, durante um eclipse lunar, isto é, quando a Terra fica exatamente entre o Sol e a Lua, seria possível calcular a distância da Terra à Lua.

Acompanhe o diagrama abaixo. Hiparco imaginou dois triângulos retângulos, cujas hipotenusas ligariam o centro da Terra às bordas do disco solar e lunar, por ocasião de um eclipse da Lua.

Podemos notar que a duração de um eclipse lunar é equivalente a duas vezes o ângulod. Vamos escrever nossa primeira equação: 2 × d = T1. O período orbital da Lua, ou seja, o tempo que ela gasta para completar uma volta (360°) em torno da Terra já era conhecido.

Vamos representá-lo como T2 e escrever a segunda equação: 360 = T2. Como podemos medir o tempo T1, a única variável é d, obtida com as duas equações numa regra de três simples e direta.

O ângulo c é chamado semi-diâmetro do Sol, ou seja, a metade do ângulo pelo qual vemos o disco solar. O ângulo a é tão pequeno que pode ser desprezado, ele representa a metade do ângulo pelo qual um observador no Sol veria a Terra.

Dos estudos de trigonometria básica extraímos a propriedade pela qual a + b = c + d. Como a é muito pequeno basta-nos escrever b = c + d.

Mas o que Hiparco queria mesmo era X, você concorda? Note que o seno de b será R ÷ X. Se ele calculasse b obteria o seu seno, consultando as velhas tábuas trigonométricas.

Sobraria R, o raio da Terra. Hiparco também poderia expressar o resultado como uma função de R, isto é, quantos raios da Terra existem até a Lua – o que já seria um excelente resultado.

O resultado de Hiparco foi um valor de X entre 62 e 74 vezes R. O valor real fica entre 57 e 64, mas seu erro é justificável face à precisão requerida nas medidas angulares. Acima de tudo, que método elegante, que conclusão arrebatadora!

Referências:

http://www.zenite.nu/

http://www.infopedia.pt/$hiparco-de-niceia

Tales e a altura da pirâmide

Tales de Mileto foi o primeiro filósofo ocidental de que se tem notícia. Ele é o marco inicial da filosofia ocidental. De ascendência fenícia, nasceu em Mileto, antiga colônia grega, na Ásia menor, atual Turquia, por volta de 625 a.C. e faleceu aproximadamente em 547 a.C. - segundo o historiador grego Diógenes Laércio, morreu com 78 anos durante a 58ª Olimpíada. Considerado um dos sete sábios da antiguidade e também o “pai da filosofia”, Tales preocupou-se em entender e explicar o universo, em vez de simplesmente curvar-se diante de seus mistérios.

Segundo alguns historiadores, Tales foi comerciante, o que lhe rendeu recursos suficientes para dedicar-se a suas pesquisas. Tales provavelmente viajou para o Egito e a Babilônia, entrando em contato com astrônomos e matemáticos. Depois de aposentado, passou a dedicar-se à matemática, estabelecendo os fundamentos da geometria.

Há duas versões de como Tales calculou a altura de uma pirâmide egípcia por meio da sombra. O relato mais antigo, dado por Hierônimos, um discípulo de Aristóteles, diz que Tales anotou o comprimento da sombra no momento em esta era igual à altura da pirâmide que a projetava. A versão posterior, dada por Plutarco, diz que ele fincou verticalmente uma vara e fez uso da semelhança de triângulos. Ambas as versões pecam ao não mencionar a dificuldade de obter, nos dois casos, o comprimento da sombra da pirâmide – isto é, a distancia da extremidade da sombra ao centro da base da pirâmide.  

Notamos que neste relato é necessário o conhecimento de teoremas sobre triângulos semelhantes.

Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por terem dois ângulos respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os lados desses triângulos eram proporcionais, pôde determinar altura VH da pirâmide através da proporção VH está para AB, assim como HB está para BC.

Este fato levou Tales a ser muito prestigiado pelo faraó Amásis, que governava o Egito nessa época.

*Entenda melhor assistindo ao vídeo:

Referencias:

http://www.slideshare.net/porqueira/teorema-de-tales-autor-antonio-carlos-carneiro-barroso-em-23062009

http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teotales/index.htm

http://seletun.blogspot.com/2008/01/tales-de-mileto-600-c_1599.html

http://www.youtube.com/watch?v=xCT2cvy9ZBk

EVES, Howard. Introdução à historia da  matemática. Campinas,SP: Editora da UNICMP, 2004